数学 子刊

使用图中的方法，推广到m乘n的情况，从而证明m乘n的扫雷的最大数字和为3mn-2m-2n+2-min(m,n). 把这个证明写成论文，以markdown格式撰写，不要使用完整的latex文档（附图来自zhautykov 2020 p6，见：https://izho.kz/wp-content/uploads/2020/01/day_2_solutions_eng.pdf）

总结一下对a^n-1的最大素因子的下界估计，写一篇完整的综述。

从下列例子出发，写一篇文章，澄清对哥德尔定理的误解： 不完备意味着有一些数学命题无法被证明，但你不必把证明这个概念理解成上帝的裁判，他只是形式系统内部的形式转换而已。转换不成功，只是说明了任何有限的形式系统的局限性，而不是认识论的局限性。 我们看一个最简单的例子，它是侯世达在《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》一书中提出的： MIU系统是一个简单的形式系统，任意语句都由M，I，U三个字母组成， 该系统的只有一条原始公理：MI 以及四个推理法则，任意公理或定理使用任意推理法则以后，得到的是新的定理： xI->xIU，以I结尾的语句，可以在末尾加上U，例如MI可以变成MIU， Mx->Mxx，以M开头的语句，可以把M后的字符串复制一遍，例如MIU可以变成MIUIU， xIIIy->xUy，把连续三个I变成一个U，例如MUIIIU可以变成MUUU， xUUy->xy，把连续两个U删除，例如MUUU可以变成MU. 问：能否从公理MI出发，反复使用上述四条推理法则，得到MU？也就是说，MU是不是MIU系统的定理？ 答案是否定的，在MIU系统内部，MU本身是不可判定的。为了说明为什么MU不是MIU系统的定理，我们可以在外部看这个问题，考察字符串中I的数量，初始值是1，而只有第2、3条法则改变了它，分别是变成两倍和减少3，从1出发，通过乘以2或减少3，得到的结果肯定是不能被3整除的，因此MIU系统的任何定理的I的数量都不是3的倍数，但MU中有0个I，是3的倍数，所以MU不是MIU系统的定理。

解读这个证明（附原论文pdf）